労働契約法18条では、２以上の有期労働契約を通算した期間が、５年を超える労働者に対して、「期間の定めのない労働契約の締結」を申し込む権利が生じるとしています。これが無期転換権です。現に締結している有期労働契約の契約期間が満了する日までの間に、転換を申し込むことができるとしています。

　平成25年４月１日から１年契約を反復更新していった場合、平成30年４月１日から５年を超え６年目の契約になります。この場合、権利が発生するのは、平成30年４月１日です。

　一方、ご質問のケースは、平成29年10月１日に１年契約を締結する形になります（通算契約期間は、４年６カ月から５年６カ月までの１年間）。この場合、平成29年10月１日の時点で、５年を超えるものとして、以後無期転換権の行使が可能となります。この場合に申込みがあったと仮定して、１年の契約満了する日の翌日から無期契約という流れになります（同条）。